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有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,是整数和分数的集合。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数也可分为正有理数、负有理数和零。
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“有理数”这一名称不免叫人费解,而有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。“有理数”一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作时,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很明显,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
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有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。
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